教学目标：

熟练掌握三角形的两条角平分线组成角与第三个角之间的关系的推导过程，并能熟练这三种情况下的公式的具体应用。

教学重点：

   掌握三角形的两条角平分线组成角与第三个角之间的关系的推导过程。

教学难点：

熟练三角形的两条角平分线组成角与第三个角之间的关系在解题中的具体应用。

教学过程：

探究1：如图，△ABC中，BD、CD为两个内角平分线，试探究∠D与∠A之间的数量关系。

解：∵BD、CD为△ABC的内角平分线

∴∠ＣＢＤ＝∠ＡＢＣ，

∠ＢＣＤ＝∠ＡＣＢ。

∵ ∠Ｄ＋ ∠ＣＢＤ＋∠ＢＣＤ＝１８０°

∴∠Ｄ＝１８０°－（∠ＣＢＤ＋∠ＢＣＤ）

＝１８０°－（∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ）

＝１８０°－（１８０°－∠Ａ）

＝１８０°－×１８０°＋∠Ａ

＝９０°＋∠Ａ

探究2：如图，ＢＤ、ＣＤ为△ＡＢＣ的两条外角平分线，试探究

∠D与∠A之间的数量关系。

解：∵ＢＤ、ＣＤ为角平分线

∴∠CBD=∠ＣＢＥ

∠ＢＣＤ＝∠ＢＣＦ

又∵∠ＣＢＥ、∠ＢＣＤ为△ＡＢＣ的外角

∴∠ＣＢＥ＝∠Ａ＋∠ＡＣＢ

∠ＢＣＦ＝∠Ａ＋∠ＡＢＣ

∴∠ＣＢＥ＋∠ＢＣＦ＝∠Ａ＋∠ＡＣＢ＋∠Ａ＋∠ＡＢＣ＝∠Ａ＋１８０°

∵ ∠Ｄ＋ ∠ＣＢＤ＋∠ＢＣＤ＝１８０°

∴∠Ｄ＝１８０°－（∠ＣＢＤ＋∠ＢＣＤ）

＝１８０°－（∠ＣＢＥ＋∠ＢＣＦ）

＝１８０°－（∠ＣＢＥ＋∠ＢＣＦ）

＝１８０°－（∠Ａ＋１８０）

＝９０°－∠A

探究3：如图，在△ＡＢＣ中，ＢＤ为∠ＡＢＣ的平分线，ＣＤ为∠ＡＣＥ的平分线，试探究 ∠D与∠A之间的数量关系。

解：∵ＢＤ为角平分线，

∴∠ＣＢＤ＝∠ＡＢＣ，

又∵ＣＤ为∠ＡＣＥ的平分线

∴∠ＤＣＥ=∠ＡＣE，

而∠ＤCE为△BCＤ的一个外角

∴∠ＤCE=∠Ｄ+∠ＤＢＣ，

即∠Ｄ＝∠ＤCE－∠ＤＢＣ

∴∠Ｄ＝∠ＡＣE－∠ＡＢＣ

＝（∠ＡＣE－∠ＡＢＣ）

＝∠Ａ。

结论：１、当夹角为两内角平分线的夹角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的和（如图1）；

２、当夹角为两外角平分线的夹角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的差（如图2）；

３、当夹角为一内角平分线与一外角平分线的夹角时：这个夹角等于第三个角一半（如图3）；

课后练习题：

1、如图，OB、  OC分别是△ABC的角平分线，且OB OC交点为O，已知∠A=α，则∠COB的度数为（      ）

A、α  B、   α  C 、90^o+    α    D、90^o－     α

2、如图，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，且PB、PC交点为P，已知∠A=60°，则∠CPB的度数为（   ）

A、60^o          B、100^o       C、120^o         D、30^o

3、如图，PB、PC分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，且PB、PC交点为P，已知∠A=60°，则∠CPB的度数为（    ）

1. 60^o       B、100^o      C、120^o       D、30^o