七年级数学竞赛培训第32讲：最大公约数和最小公倍数

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．（3分）设a与b是正整数，且a+b＝33，最小公倍数[a，b]＝90，则最大公约数（a，b）＝（　　）

A．1 B．3 C．11 D．9

2．（3分）古人用天干和地支记次序，其中天干有10个：甲，乙，丙，丁，戊，已，庚，辛，壬，癸，地支有12个：子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列如下两列：

甲乙丙丁戊已庚辛壬癸甲乙丙丁戊已庚辛壬癸…

子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥…

从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅…则第2次甲和子在同一列时，该列的序号是（　　）

A．31 B．61 C．91 D．121

3．（3分）两个正数的和是60，它们的最小公倍数是273，则它们的乘积是（　　）

A．273 B．819 C．1199 D．1911

4．（3分）2001的正约数的个数是（　　）

A．3 B．4 C．6 D．8

5．（3分）下面的四句话中正确的是（　　）

A．正整数a和b的最大公约数大于等于a

B．正整数a和b的最小公倍数大于等于ab

C．正整数a和b的最大公约数小于等于a

D．正整数a和b的公倍数大于等于ab

6．（3分）360×473和172×361这两个积的最大公约数是（　　）

A．43 B．86 C．172 D．4

7．（3分）所有形如的六位数（a，b，c分别是0～9这十个数之一，可以相同，但a≠0）的最大公约数是（　　）

A．1001 B．101 C．13 D．11

8．（3分）用长为45cm，宽为30cm的一批砖，铺成一块正方形，至少需要（　　）块．

A．6 B．8 C．12 D．16

9．（3分）祖孙两人的年龄都是合数，明年他们的岁数相乘是1610，那么祖孙两人今年的年龄分别是（　　）

A．70岁、23岁 B．69岁、22岁 C．115岁、14岁 D．114岁、13岁

10．（3分）在正整数1，2，3，…，100中，能被2整除但不能被3整除的数的个数是（　　）

A．33 B．34 C．35 D．37

二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）

11．（4分）a，b是彼此不相等的非零数字，则与4017的最大公约数是    ．

12．（4分）写出一组4个连续自然数，使它们从小到大顺次是5的倍数、7的倍数、9的倍数、11的倍数，这组自然数依次为 1735，1736，1737，1738．

13．（4分）设m和n为大于0的整数，且3m+2n＝225．

（1）如果m和n的最大公约数为15，则m+n＝    ；

（2）如果m和n的最小公倍数为45，则m+n＝    ．

14．（4分）两个正整数之和为667，其最小公倍数是它们的最大公约数的120倍，那么满足条件的正整数有    组．

15．（4分）（a，b）表示两个正整数a和b的最小公倍数，例如[14，35]＝70，则满足[x，y]＝6，[y，z]＝15的正整数组（x，y，z）共有    组．

三、解答题（共8小题，满分100分）

16．（12分）甲地到乙地原来每隔45m要安装一根电线杆，加上两端的两根一共有53根电线杆．现在改成每隔60m安装一根电线杆，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？

17．（12分）如图，一个圆圈上有n（n＜100＝个孔．小明像玩跳棋一样，从A孔出发，逆时针方向将一枚棋子跳动，每步跨过若干个孔，希望跳一圈后回到A孔．他先每步跳过2个孔，结果只能跳到B孔；他又试着每步跳过4个孔，结果还是跳到B；最后他每步跳过6孔，正好回到A孔．问这个圆圈上一共有多少个孔？

18．（12分）23个不同的正整数的和是4845，问这23个数的最大公约数可能达到的最大值是多少写出你的结论，并说明你的理由．

19．（12分）张华、李亮、王民三位同学分别发出新年贺卡x、y、z张．如果已知x，y，z的最小公倍数为60，x和y的最大公约数为4，y和z的最大公约数为3，那么张华发出的新年贺卡是多少张？

20．（12分）在一间屋子里有100盏电灯排成一横行，依从左到右的顺序编上号码1，2，3，…，100．每盏电灯上有一根拉线开关，最初所有电灯全是关的，现有100个学生在门外排着队，第一个学生走进屋来，把编号是1的倍数的电灯的开关拉一下；接着第二个学生走进屋来，把凡是编号是2的倍数的电灯开关拉了一下；…；最后第100个学生走进屋来，把编号是100的倍数的电灯的开关拉了一下，这样做过以后，问哪些电灯是亮的？

21．（12分）用整元的人民币购物，若用多于7元的任意元钱去买单价为3元和5元的两种雪糕，一定可以把钱花完，请证明这一结论．

22．（14分）已知两数和是60，它们的最大公约数与最小公倍数之和是84，求此二数．

23．（14分）甲、乙、丙三人到李老师那里求学，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果8月17日他们三人在李老师处见面，那么下一次在李老师处见面的时间是几月几日呢？